Πολλοί μαθητές που σπουδάζουν ανώτερα μαθηματικά στα ανώτερα χρόνια τους αναρωτήθηκαν πιθανώς: πού εφαρμόζονται στην πράξη οι διαφορικές εξισώσεις (DE); Κατά κανόνα, αυτό το ζήτημα δεν συζητείται σε διαλέξεις και οι εκπαιδευτικοί προχωρούν αμέσως στην επίλυση DE χωρίς να εξηγούν στους μαθητές την εφαρμογή διαφορικών εξισώσεων στην πραγματική ζωή. Θα προσπαθήσουμε να καλύψουμε αυτό το κενό.
Ας ξεκινήσουμε καθορίζοντας μια διαφορική εξίσωση. Έτσι, μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που συνδέει την τιμή του παραγώγου μιας συνάρτησης με την ίδια τη συνάρτηση, τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής και ορισμένους αριθμούς (παραμέτρους).
Η πιο κοινή περιοχή στην οποία εφαρμόζονται διαφορικές εξισώσεις είναι η μαθηματική περιγραφή των φυσικών φαινομένων. Χρησιμοποιούνται επίσης για την επίλυση προβλημάτων όπου είναι αδύνατο να δημιουργηθεί μια άμεση σχέση μεταξύ ορισμένων τιμών που περιγράφουν μια διαδικασία. Τέτοια προβλήματα προκύπτουν στη βιολογία, τη φυσική, τα οικονομικά.
Στη βιολογία:
Το πρώτο ουσιαστικό μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει τις βιολογικές κοινότητες ήταν το μοντέλο Lotka - Volterra. Περιγράφει έναν πληθυσμό δύο ειδών που αλληλεπιδρούν. Το πρώτο από αυτά, που ονομάζεται αρπακτικά, απουσία του δεύτερου, πεθαίνει σύμφωνα με το νόμο x ′ = –ax (a> 0) και το δεύτερο - θήραμα - ελλείψει αρπακτικών πολλαπλασιάζεται επ 'αόριστον σύμφωνα με το νόμο του Μάλθους. Η αλληλεπίδραση αυτών των δύο τύπων διαμορφώνεται ως εξής. Τα θύματα πεθαίνουν με ρυθμό ίσο με τον αριθμό των συναντήσεων αρπακτικών και θηραμάτων, το οποίο σε αυτό το μοντέλο θεωρείται ότι είναι ανάλογο με το μέγεθος και των δύο πληθυσμών, δηλαδή ίσο με το dxy (d> 0). Επομένως, y ′ = by - dxy. Οι θηρευτές αναπαράγονται με ρυθμό ανάλογο με τον αριθμό των θηραμάτων που καταναλώνονται: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Σύστημα εξισώσεων
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = με - dxy, (2)
Το αρπακτικό θήραμα που περιγράφει έναν τέτοιο πληθυσμό ονομάζεται σύστημα Lotka-Volterra (ή μοντέλο).
Στη φυσική:
Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μπορεί να γραφτεί με τη μορφή μιας διαφορικής εξίσωσης
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), όπου m είναι η μάζα του σώματος, x είναι η συντεταγμένη του, F (x, t) είναι η δύναμη που ενεργεί στο σώμα με συντεταγμένη x στο χρόνο t. Η λύση του είναι η τροχιά του σώματος υπό τη δράση της καθορισμένης δύναμης.
Στα οικονομικά:
Μοντέλο φυσικής αύξησης της παραγωγής
Θα υποθέσουμε ότι ορισμένα προϊόντα πωλούνται σε σταθερή τιμή P. Αφήστε το Q (t) να δηλώσει την ποσότητα των προϊόντων που πωλήθηκαν τη στιγμή t; τότε σε αυτό το σημείο το εισόδημα είναι ίσο με PQ (t). Αφήστε ένα μέρος του καθορισμένου εισοδήματος να δαπανηθεί για επενδύσεις στην παραγωγή προϊόντων που πωλούνται, δηλαδή
I (t) = mPQ (t), (1)
όπου m είναι το ποσοστό επένδυσης - ένας σταθερός αριθμός και 0
